大学の試験対策用に作りました。

ラグランジュ形式

オイラーラグランジュ方程式

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}=\frac{\partial L}{\partial q_i}$$ $$\frac{d}{dt}p_i=F_i$$

一般化力

$$F_i=\frac{\partial L}{\partial q_i}$$

一般化運動量

$$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$$

エネルギー

$$E(t)=\left(\sum_i\dot q_ip_i\right)-L$$

ラグランジアンの不定性（オイラーラグランジュ方程式が一致）

$$\tilde L:=L+\frac d{dt}f(q,t)$$

これはラグランジアンが対称性を持つ条件でもある。

ホロノミック（拘束条件 $c$ が $\dot q$ を含まない）な拘束条件がある時の作用の停留条件

$$\tilde S[q,\lambda]=S[q]+\int_{t_i}^{t_f}dt\sum_\gamma \lambda_\gamma(t)c_\gamma(q,t)=\int_{t_i}^{t_f}dt\tilde L(q,\dot q,\lambda,t)$$ $$\tilde L(q,\dot q,\lambda,t)=L(q,\dot q,t)+\sum_\gamma \lambda_\gamma(t)c_\gamma(q,t)$$

$\tilde L$ に対する $q,\lambda$ のオイラーラグランジュ方程式を解けば良い。（ $\lambda$ は時間依存なことに注意 ）

ネーターの定理

無限小変換が

$$Q=q+\epsilon F(q,t)+O(\epsilon^2)$$

で与えられる連続対称性がある、つまりラグランジアンの変化分が

$$f(q,t)=\epsilon \Lambda(q,t)+O(\epsilon^2)$$

を用いた不定性 $\dfrac d{dt}f$ の範囲に収まる時、ネーター保存量

$$\mathcal Q:=\sum_iF_ip_i-\Lambda$$

が保存。また、この時

$$Q=q+\epsilon\{q,\mathcal Q\}+O(\epsilon^2)$$

が成立するため、 ネーター保存量 $\mathcal Q$ はこの無限小変換の生成子である。

ハミルトンの主関数

$$S(q(t_f),q(t_i),t_f,t_i):=\int_{t_i}^{t_f}dtL(q,\dot q,t)$$

ハミルトン形式

正準方程式

$$\dot q=\frac{\partial H}{\partial p},\quad\dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}$$

ポアソン括弧

$$\{f,g\}:=\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$$

基本ポアソン括弧は

$$\{q_i,p_j\}=\delta_{ij},\quad \{q_i,q_j\}=\{p_i,p_j\}=0$$

であり、

$$\frac d{dt}f(q,p,t)=\{f,H\}+\frac{\partial}{\partial t}f$$

より、正準方程式は

$$\dot q=\{q,H\},\quad\dot p=\{p,H\}$$

となる。

性質

$$\{f,g\}=-\{g,f\}$$ $$\{\alpha f+\beta g,h\}=\alpha\{f,h\}+\beta\{g,h\}$$ $$\{fg,h\}=\{f,h\}g+\{g,h\}f$$ $$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$$

正準変換

母関数による変換

$q,Q$ を独立変数にした母関数による変換

$$p_i=\frac{\partial\mathcal F_1(q,Q,t)}{\partial q_i},\quad P_i=-\frac{\partial \mathcal F_1(q,Q,t)}{\partial Q_i}$$ $$K(Q,P,t)=H(q,p,t)+\frac{\partial\mathcal F_1(q,Q,t)}{\partial t}$$

$q,P$ を独立変数にした母関数による変換

$$p_i=\frac{\partial\mathcal F_2(q,P,t)}{\partial q_i},\quad Q_i=\frac{\partial \mathcal F_2(q,P,t)}{\partial P_i}$$ $$K(Q,P,t)=H(q,p,t)+\frac{\partial\mathcal F_2(q,P,t)}{\partial t}$$

無限小正準変換

生成子 $\mathcal G(q,p,t)$ を用いて、無限小正準変換は

$$Q=q+\epsilon\frac{\partial\mathcal G}{\partial p}+O(\epsilon^2)=q+\epsilon\{q,\mathcal G\}+O(\epsilon^2)$$ $$P=p-\epsilon\frac{\partial\mathcal G}{\partial q}+O(\epsilon^2)=p+\epsilon\{p,\mathcal G\}+O(\epsilon^2)$$

とかけ、任意の関数は

$$f(Q,P,t)=f(q,p,t)+\epsilon\{f,\mathcal G\}+O(\epsilon^2)$$

と変換される。

対称性の条件

ハミルトン形式での対称性の条件は

$$K(Q,P,t)=H(q,p,t)$$

である。ラグランジアンとは違って不定性はない。

無限小変換における対称性の条件は

$$\{\mathcal G,H\}+\frac{\partial \mathcal G}{\partial t}=0$$

であるが、

$$\frac d{dt}\mathcal G=\{\mathcal G,H\}+\frac{\partial \mathcal G}{\partial t}=0$$

より、生成子が保存量となっている。

生成子が時間に陽に依存しないならば、

$$\{\mathcal G,H\}=0$$

のように交換することが条件となる。

ハミルトン・ヤコビ理論

母関数 $\mathcal F_1(q,Q,t)$ による正準変換によって、

$$K(Q,P,t)=H(q,p,t)+\frac{\partial\mathcal{F_1}}{\partial t}=0$$

とハミルトニアンが0になった時、この母関数を $\mathcal S(q,Q,t)$ とする。

この母関数はハミルトン・ヤコビ方程式

$$-\frac{\partial\mathcal S}{\partial t}=H\left(q,\frac{\partial\mathcal S}{\partial q},t\right)$$

の解として与えられる。（移項しただけ）

この時、初期位置 $Q=q(t_i)$ と初期運動量 $P=p(t_\mathrm i)$ を定数にとった場合の解はハミルトンの主関数に等しい。

$$\mathcal S(q(t),q(t_\mathrm i),t)=S(q(t),q(t_\mathrm i),t,t_\mathrm i)$$

荷電粒子

ラグランジアン

$$L=\frac{m}{2}\dot{\bm r}^2+e\dot{\bm r}\cdot \bm A-e\phi$$

ハミルトニアン

$$H=\frac1{2m}(\bm p-e\bm A)^2+e\phi$$

一般化運動量

$$\bm p=m\dot{\bm r}+e\bm A$$